В настоящей статье приводятся приближенные методы расчета мембранных покрытий (определение внутренних усилий в мембране и в ее опорном контуре), приведеные в Рекомендациях по проектированию мембранных покрытий на прямоугольном плане для реконструируемых зданий и сооружений.
Статья достаточно громоздкая и во многом повторяет расчетные положения рекомендаций (но приведена в удобном алгоритмическом виде), поэтому она разбита на несколько разделов. Каждый из разделов свернут в спойлер.
Прежде, чем приступать к расчету, следут познакомиться с основными расчетными предпосылками и схемами мембранных покрытий.
1. Настоящая статья предназначена для расчета металлических мембранных покрытий с плоским прямоугольным контуром
2. Элементами покрытия являются мембранная пролетная конструкция и наружный опорный контур. См. рис. 1
Рис. 1 - Схема мембранного покрытия
3. Пролетная конструкция, работающая на двухосное растяжение и совмещающая несущие и ограждающие функции, выполняется из тонколистовых металлических полотнищ. Наружный замкнутый опорный контур, к которому крепится мембрана, воспринимающий цепные усилия с пролетной конструкции, выполняется железобетонным или металлическим.
4. Можно определить функцию начальной формы поверхности мембраны размерами 2a x 2b из уравнения:
,Геометрия поверхности мембраны приведена на рис. 2.
Рис. 2 - Геометрия поверхности мембраны
5. При монтаже навесным методом мембрана укладывается на так называемую постель, которая стостоит из направляющих и поперечных элементов (рис. 3а). При монтаже покрытия на подмостях или внизу на спланированной площадке элементы постели не требуются (рис. 3б).
Рис. 3 - Монтажные схемы покрытия
6. Узлы крепления направляющих постели к опорному контуру приведены на рис. 4 (регулируемый узел) и 5 (жесткий узел).
Рис. 4 - Регулируемый узел крепления постели к контуру
Рис. 5 - Жесткий узел крепления постели к контуру
7. Замкнутый прямоугольный опорный контур воспринимает с мембраны цепные усилия (нормальные и касательные) и передает на нижележащие конструкции в основном вертикальные усилия. Ввиду пологости пролетной конструкции усилия в мембране, воспринимаемые контуром, достигают больших величин.
8. Поперечное сечение опорного контура определяется расчетом покрытия с учетом податливости контура, которая характеризуется относительными параметрами:
,9. В качестве опорного контура применяются железобетонные или металлические сечения.
,Рис. 6 - Типы сечений железобетонного опорного контура
,Рис. 7 - Типы сечений стального опорного контура
10. Для обеспечения большей жесткости опорного контура в его углах рекомендуется устанавливать вуты или распорки.
,Рис. 8 - Узлы углов опорных контуров
Познакомившись к основными положениями о конструкциях мембранных покрытий, можно приступать к расчету. Расчетом будут определяться напряжения и внутренние усилия в мембране и в опорном контуре. При этом для мембран различных геометрических габаритных параметров расчеты будут различаться, поэтому каждый из них заключен в отдельный раздел.
Приведенные ниже формулы рекомендуются для первоначальной оценки напряженно-деформированного состояния покрытия, в частности, для назначения толщины мембраны.
Расчет проводится для квадратной в плане мембраны со стороной 2a, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой q при несмещаемом (абсолютно жестком) опорном контуре.
1. Назначаем сторону мембраны равной 2a
2. E, t - модуль упругости и толщина мембраны
3. Прогиб в центре мембраны определяем по формуле:
4. Напряжения вдоль осей симметрии в центре мембраны определяем по формуле:
5. Максимальное нормальное напряжение в мембране (в месте примыкания к середине опорного контура):
6. В общем случае напряжения в мембране можно получить из эпюр, приведенных на рис. 9. В частности, напряжения, найденные по формулам выше, можно найти на данных эпюрах.
Рис. 9 - Эпюры распределения напряжений σx и σ1, 2 в мембране. Эпюры напряжений σy могут быть показаны аналогично, но перпендикулярно к изображенным. На рисунке цифрами указано: 1 - Эпюра σx около стороны крепления мембраны к контуру параллельно оси x; 2 - Эпюра σx по центру мембраны параллельно оси x; 3 - Эпюра σx около стороны крепления мембраны к контуру перпендикулярно оси x; 4 - Эпюра σx по центру мембраны перпендикулярно оси x; 5 - Эпюра σ1 главных напряжений по первой диагонали мембраны; 6 - Эпюра σ2 главных напряжений по второй диагонали мембраны. Коэффициенты γ1, 2 и γx, представленные как ординаты эпюр, могут быть подставлены в соответствующие формулы, указанные на рисунке, для определения соответствующих напряжений
7. Изгибающие моменты в горизонтальной плоскости контура находим по формулам:
- в пролете
- на опоре8. Усилие сжатия в контуре найдется из выражения:
9а. Изгибающие моменты в вертикальной плоскости контура при многопролетном контуре:
- в пролете
- на опоре9б. Изгибающие моменты в вертикальной плоскости контура при однопролетном контуре (шарнирная балка):
- в пролете
- на опореРасчет проводится для прямоугольной в плане мембраны со сторонами 2a и 2b, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой q при несмещаемом (абсолютно жестком) опорном контуре.
1. План мембраны приведен на рис. 10 с обозначением характерных точек, в которых находятся искомые силовые факторы.
Рис. 10 - План мембраны с обозначением характерных точек, в которых находятся искомые силовые факторы
2. Для начала следует принять к сведению таблицу с коэффициентами, используемыми для определения усилий. Значения параметров βi даны для координат мембраны, изображенных на рис. 10.
Рис. 11 - Таблица с коэффициентами, используемыми для определения усилий
3. Прогиб в центре мембраны находится из формулы:
4. Напряжения в мембране в характерных точках (по рис. 10) определяется по формуле (i - номер точки на рис. 10):
5. Усилия сжатия в контуре определяются по формулам:
- длинные стороны контура
- короткие стороны контураРасчет проводится для квадратной в плане мембраны со стороной 2a, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой q при несмещаемом (абсолютно жестком) опорном контуре. При этом начальная стрела провиса центра мембраны не должна превышать 0,1a
1. Определяем безразмерный относительный параметр провиса (начальный провис обозначен как f0) по формуле:
2. Определяем числовые коэффициенты α1, γ1, 2, β1, 2, 3, 4 по графику рис. 12:
Рис. 12 - График определения числовых коэффициентов к уравнениям
3. Определяем прогиб в центре мембраны по формуле:
4. Определяем напряжения в центре мембраны по формуле:
5. Определяем максимальное напряжение в мембране (в месте примыкания к середине опорного контура) по формуле:
Распределение напряжений в мембране аналогично эпюрам, приведенным на рис. 9 (но, разумеется, с другими значениями).
6. Определяем изгибающие моменты в горизонтальной плоскости опорного контура:
- в пролете контура
- на опоре контура7. Определяем усилия сжатия в контуре:
- в пролете контура
- на опоре контура8а. Изгибающие моменты в вертикальной плоскости контура при многопролетном контуре:
- в пролете - на опоре8б. Изгибающие моменты в вертикальной плоскости контура при однопролетном контуре (шарнирная балка):
- в пролете - на опореРасчет проводится для квадратной в плане мембраны со стороной 2a, нагруженной равномерно-распределенной нагрузкой q при податливом опорном контуре.
Приведенные ниже формулы справедливы при относительной стреле провиса f = 10. Для других стрел провиса будет дано примечание ниже.
1. Поперечное сечение опорного контура определяется расчетом покрытия с учетом податливости контура, которая характеризуется относительными параметрами:
,При этом найденные величины рекомендуется принимать:
- для железобетонного контура
- для стального контура2. При наличии вутов (распорок) в углах контура в формулах по определению жесткостей контура вместо a следует подставлять величину, уменьшенную на длину вута, т.е.:
3. План расположения характерных точек на поверхности мембраны приведен на рис. 13.
Рис. 13 - План расположения характерных точек на поверхности мембраны
4. Прогиб в центре мембраны определяется по формуле, приведенной на рис. 14, с учетом коэффициента α1, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 14 - График для определения прогиба в центре мембраны
5. Напряжения в центре мембраны (т. 1 на рис. 13) определяется по формуле, приведенной на рис. 15, с учетом коэффициента γ1, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 15 - График для определения напряжений в центре мембраны
6. Максимальное напряжение в мембране (в т. 3 на рис. 13) определяется по формуле, приведенной на рис. 16, с учетом коэффициента γ5, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 16 - График для определения максимального напряжения в т. 3 мембраны
7. Напряжение в мембране (в т. 5, отстоящей от угла на 5/8a, см. рис. 17) определяется по формуле, приведенной на рис. 17, с учетом коэффициента γ2, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 17 - График для определения напряжения в т. 5 мембраны
9. Напряжения в мембране в месте примыкания к середине контура (в т. 2 на рис. 13) определяются по формулам, приведенным на рис. 18, 19, с учетом коэффициентов γ3 и γ4, зависящих от жесткостей контура n и k.
Рис. 18 - График для определения напряжений σx в т. 2 мембраны
Рис. 19 - График для определения напряжений σy в т. 2 мембраны
10. Максимальное касательное напряжение в мембране (в т. 4 на рис. 13) определяется по формуле, приведенной на рис. 20, с учетом коэффициента γ6, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 20 - График для определения касательных напряжений τmax в т. 4 мембраны
11. Изгибающий момент в середине пролета опорного контура в горизонтальной плоскости определяется по формуле, приведенной на рис. 21, с учетом коэффициента β1, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 21 - График для определения изгибающего момента в середине пролета опорного контура в горизонтальной плоскости M1x
12. Изгибающий момент в углу опорного контура в горизонтальной плоскости определяется по формуле, приведенной на рис. 22, с учетом коэффициента β2, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 22 - График для определения изгибающего момента в углу опорного контура в горизонтальной плоскости M2x
13. Расстояние a0 от угла опорного контура до места перемены знака эпюры изгибающих моментов в горизонтальной плоскости определяется по формуле, приведенной на рис. 23, с учетом коэффициента α2, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 23 - График для определения расстояния a0 от угла опорного контура до места перемены знака эпюры изгибающих моментов в горизонтальной плоскости
14. Усилие продольное в опорном контуре в середине пролета определяется по формуле, приведенной на рис. 24, с учетом коэффициента β3, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 24 - График для определения продольного усилия в опорном контуре в середине пролета
15. Усилие продольное в опорном контуре в углу определяется по формуле, приведенной на рис. 25, с учетом коэффициента β4, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 25 - График для определения продольного усилия в опорном контуре в углу
16. Поперечная сила в углу опорного контура определяется по формуле, также приведенной на рис. 25, с учетом коэффициента β4, зависящего от жесткостей контура n и k.
17. Максимальное перемещение середины опорного контура в горизонтальной плоскости определяется по формуле, приведенной на рис. 26, с учетом коэффициента α3, зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 26 - График для определения максимального перемещения середины опорного контура в горизонтальной плоскости
18. Изгибающий момент M1y в середине стороны контура в вертикальной плоскости контурного элемента, опертого только в углах, следует принимать по формуле, приведенной ниже, с учетом коэффициента β5, приведенного на рис. 27 и зависящего от жесткостей контура n и k.
Рис. 27 - График для определения коэффициента β5 для расчета изгибающего момента M1y в середине стороны контура в вертикальной плоскости контурного элемента, опертого только в углах
19. Для наглядности, на рис. 28 изображены эпюры напряжений в мембранном покрытии без вутов, при k = 1, n = 5,5⋅10-5, f = 10. Для других значений указанных параметров ординаты эпюр будут отличаться, но конфигурация кривых будет похожей.
Рис. 28 - Эпюры напряжений в мембранном покрытии без вутов, при k = 1, n = 5,5⋅10-5, f = 10.
20. Для наглядности, на рис. 29 изображены эпюры усилий сжатия и изгибающих моментов в опорном контуре в покрытии без вутов (при k = 1, n = 5,5⋅10-5, f = 10) и с вутами (при kВ = 1,25, nВ = 10,8⋅10-5, f = 10). Для других значений указанных параметров ординаты эпюр будут отличаться, но конфигурация кривых будет похожей.
Рис. 29 - Эпюры усилий сжатия и изгибающих моментов в опорном контуре в покрытии без вутов (при k = 1, n = 5,5⋅10-5, f = 10) и с вутами (при kВ = 1,25, nВ = 10,8⋅10-5, f = 10)
21. Изгибающие моменты в вертикальной плоскости контурного элемента, опертого на колонны, рекомендуется определять как в многопролетной неразрезной балке с шарнирными концами, загруженной вертикальными составляющими цепных усилий в мембране по схеме на рис. 30. При этом величины усилий в точках 1-9, обозначенных на данном рисунке, следует определять по формуле:
,
Рис. 30 - Вертикальные составляющие усилий от опирания мембраны на опорный контур в вертикальной плоскости контурного элемента, опертого на колонны
Рис. 31 - Коэффициент, учитывающий влияние изгибной жесткости контура в горизонтальной плоскости при нахождении вертикальных усилий в контуре
22. Напоминем, что все вышеперечисленные формулы справедливы для начальной стрелы провиса при относительной величине провиса f = 10. Для других значений начального провиса, отличающихся от 10, при вычислении напряжений, перемещений и внутренних усилий, следует пользоваться поправочными коэффициентами αif, βif, γif подобно коэффициентам αi, βi, γi, определяемым выше. Т.е. напряжения, перемещения и внутренние усилия, вычисленные выше, следует умножать на соответствующие коэффициенты αif, βif, γif. Значения данных коэффициентов в звисимости от относительной начальной стрелы провиса следует принимать по графикам рис. 32, 33.
Рис. 32 - Коэффициенты αif, βif, γif для корректировки напряжений, перемещений и внутренних усилий при относительной начальной стреле провиса, отличающейся от значения 10 (график 1)
Рис. 33 - Коэффициенты αif, βif, γif для корректировки напряжений, перемещений и внутренних усилий при относительной начальной стреле провиса, отличающейся от значения 10 (график 2)
Расчет аналогичен положениям, приведенным в разд. V настоящей статьи. При этом следует выполнить некоторые корректировки. Корректировки справедливы для размеров вутов в плане, равных aВ = a/5
Для выполнения корректировки сначала следует выполнить расчет системы, как системы без вутов, согласно положениям разд. V настоящей статьи, применяя скорректированные значения продольной и изгибной жесткостей опорного контура с учетом вутов, определяемых по формулам:
После определения внутренних силовых факторов указанным способом, к полученным величинам этих факторов (напряжений, изгибающих моментов, внутренних усилий и т.п.) следует применить коэффициенты, речь о которых пойдет ниже.
1. Прогиб в центре мембраны:
2. Максимальное нормальное напряжение в мембране:
3. Максимальное касательное напряжение в мембране:
4. Расстояние от окончания вутов до места перемены знака эпюры изгибающих моментов:
5. Максимальное горизонтальное перемещение середины опорного контура:
6. Определяем поправочные коэффициенты для перехода от значений изгибающих моментов в опорном контуре в горизонтальной плоскости, усилия сжатия в нем в месте примыкания к вуту и поперечной силы в месте примыкания к вуту: коэффициенты β1В, β2В, β4В, β7В, приведенные на графике рис. 34.
Рис. 34 - Коэффициенты β1В, β2В, β4В, β7В для вычисления значений изгибающих моментов в опорном контуре в горизонтальной плоскости, усилия сжатия в нем в месте примыкания к вуту и поперечной силы в месте примыкания к вуту
7. Определяем максимальные изгибающие моменты в опорном контуре в горизонтальной плоскости по формулам:
- в пролете
- в местах окончания вутов8. Определяем усилие сжатия в опорном контуре в месте примыкания к вуту по формуле:
- в местах окончания вутов9. Определяем поперечную силу в опорном контуре в месте примыкания к вуту:
Для прямоугольных мембранных покрытий с соотношением сторон менее 1:1,5 приближенный расчет с учетом податливости контура может быть выполнен по формулам для квадратной мембраны (см. разделы V, VI настоящей статьи) пролетом, равным длинной стороне прямоугольного покрытия.
При этом, следует иметь ввиду, что максимальные напряжения в центре мембраны ориентированы параллельно длинной стороне покрытия, максимальные сжимающие усилия и горизонтальные перемещения возникают в контуре по длинной стороне, а максимальные изгиоающие моменты в контуре — по короткой стороне прямоугольного покрытия.
Ко всему вышесказанному следует добавить:
1. Нагрузка, равномерно распределенная по поверхности покрытия, является определяющей для максимальных величин усилий и перемещений в основных конструктивных элементах покрытия. Односторонняя нагрузка (снег на половине покрытия) и горизонтальная нагрузка на опорный контур, передающаяся на него через колонны и обусловленная ветровым давлением на стеновое ограждение, в большинстве случаев не вызывает каких-либо существенных дополнительных усилий в мембране и опорном контуре. В связи с этим при предварительном проектировании приближенный расчет можно проводить на нагрузку равномерно распределенную по поверхности покрытия.
2. При значениях относительной изгибной жесткости опорного контура больших, чем величины, указанные ниже, мембранная пролетная конструкция, прикрепленная по всему периметру к замкнутому опорному контуру, обеспечивает его устойчивость в плоскости мембраны. При проверке устойчивости опорного контура из плоскости покрытия расчетную длину бортового элемента следует принимать с учетом условий его опирания и нагружения.
- для железобетонного контура - для стального контура
Закрыть